\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
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\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{makecell}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}
	\section{直角坐标系、柱坐标系与球坐标系}
	\footnote{参考：Wolfram 文档，小时百科}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.7 \linewidth]{"Untitled 1"}
		\caption{直角坐标系、柱坐标系与球坐标系示意图}
		\label{fig:untitled-1}
	\end{figure}
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{直角坐标系、柱坐标系与球坐标系小结} % 设置表格标题
		\label{tab:summary} % 设置标签，用于交叉引用
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			& 直角坐标系 &柱坐标系 & 球坐标系 \\
			\hline
			坐标 & $(x,y,z)$ & $(r,\theta,z)$& $(r,\theta,\phi)$ \\
			\hline 
			单位正交基 & $\{\hat x, \hat y, \hat z \}$ & $\{\hat r, \hat \theta, \hat z \}$ & $\{\hat r, \hat \theta, \hat \phi \}$\\
			\hline 
			全空间范围 & $x,y,z\in(-\infty,+\infty)$ & \makecell{$r\in[0, +\infty)$\\ $\theta \in [0,2\pi)$\\ $z\in(-\infty,+\infty)$} & \makecell{$r\in[0, +\infty)$\\ $\theta \in [0,\pi)$\\ $\phi\in[0,2\pi)$}\\
			\hline
			坐标换算到直角坐标 & 不适用 & \makecell{$x = r \cos \theta$\\$y = r \sin \theta$\\$z=z$} & \makecell{$x = r \sin \theta \cos \phi$\\$y = r \sin \theta \sin \phi$\\$z=r \cos \theta $} \\
			\hline
			坐标从直角坐标换算* & 不适用 & \makecell{$r = \sqrt{x^2+y^2}$ \\ $ \theta = \atan{y/x} $ \\ $z=z$}&\makecell{$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$\\$ \theta = \atan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$\\$\phi = \atan y/x$} \\
			\hline
			基按直角基展开 & 不适用 
			& 
			\makecell
			{
				$\hat r = \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y $ \\
				$\hat \theta = - \sin \theta \hat x  + \cos \theta \hat y$ \\
				$\hat z = \hat z$
			} 
			& \makecell
			{
				$\hat r = \sin \theta \cos \phi \hat x+  \sin \theta \sin \phi \hat y + \cos \theta \hat z $ \\
				$\hat \theta = \cos \theta \cos \phi \hat x+  \cos \theta \sin \phi \hat y - \sin \theta \hat z $ \\
				$\hat \phi = - \sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y$
			} \\
			\hline
			单位体积 & $\dd V = \dd x \dd y \dd z$ & $\dd V = r \dd r \dd \theta \dd z$ & $\dd V = r^2 \sin \theta \dd r \dd \theta \dd \phi$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	\textbf{备注1}：$\atan$的符号问题相当复杂，事实上需要非常繁琐的分类讨论。
	并且球坐标的规范十分多样，基本每篇文章、每个软件都会使用不大一样的规范。
	
	\textbf{备注2}：如果要将球坐标系的基按直角基展开，以下是一种推导思路：
	\begin{itemize}
		\item 对于$\hat r $，由于$\hat r \parallel \bvec r$ ，
		因此只需归一化$\bvec r$，即令$\bvec r$除以$r$：
		$\hat r = unitvector(\bvec r) =  \sin \theta \cos \phi \hat x + \sin \theta \sin \phi \hat y + \cos \theta \hat z$ ，
		\item 对于$\hat \phi $，其必然位于$x-y$平面内并只与$\phi$相关，观察易得$\hat \phi = - \sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y$
		\item 对于 $\hat \theta$，由于他与$\hat r$, $\hat \phi$正交，因此仅需做叉乘：$\hat \theta = \hat \phi \times \hat r = \cos \theta \cos \phi \hat x+  \cos \theta \sin \phi \hat y - \sin \theta \hat z $
	\end{itemize}

	\textbf{备注3}：在积分时，需要用到单位体积。比如在直角坐标系中对某一函数进行全空间积分：
	$$
	\iiint f(x,y,z) \dd V = \iiint f(x,y,z) \dd x \dd y \dd z
	$$
	而在球坐标系中：
	$$
	\iiint f(r,\theta,\phi) \dd V = \iiint f(r,\theta,\phi) r^2 \sin \theta \dd r \dd \theta \dd \phi
	$$
	其中略去了积分上下限。
	

	
\end{document}